8.3 Areas Under the X-axis

知识点总结

1. x轴下方面积的基本概念

关键点：当曲线与x轴围成的区域在x轴下方时，\(\int y dx\) 会给出负值。

面积 = \(|\int_a^b f(x) dx|\)

（取绝对值得到正面积）

2. 负值积分的处理

重要原则：面积总是正值，即使积分结果为负。

3. 跨轴区域的处理

复杂情况：当区域跨越x轴时，需要分段计算。

总面积 = \(\int_a^c f(x) dx - \int_c^b f(x) dx\)

（其中c是曲线与x轴的交点）

4. 计算步骤

  1. 画图：先画出曲线草图，标出与x轴的交点
  2. 确定区间：找出需要计算面积的区间
  3. 分段积分：如果跨轴，需要分段计算
  4. 取绝对值：确保最终答案为正面积

5. 常见错误

  • 忘记取绝对值：x轴下方的积分结果为负，需要取绝对值
  • 跨轴处理错误：跨轴区域需要分段计算，不能直接积分
  • 忽略草图：不画图容易判断错误曲线的位置
  • 符号错误：在分段计算时容易搞错正负号

6. 解题技巧

学习建议：重点掌握跨轴区域的处理方法，多做需要分段积分的题目，养成先画图的习惯。